Esta proposta de atividade de Matemática, elaborada com base no DC/GO – Ampliado, é destinada aos estudantes do 9º Ano do Ensino Fundamental – Anos Finais.
Triângulos semelhantes
A semelhança de triângulos é um conceito muito importante na Geometria e tem diversas aplicações práticas, como na construção civil, na navegação e até mesmo em atividades do dia a dia.
Quando dois triângulos são semelhantes, podemos comparar suas medidas usando uma razão de semelhança. Esta razão é determinada pela divisão entre as medidas de dois lados correspondentes.
Para os triângulos acima, a razão de proporção, ou razão de semelhança é
Critérios de semelhança de triângulos
O triângulo é um polígono particular dada a sua rigidez geométrica. Isso significa que, se fixarmos o comprimento dos seus lados ou os seus ângulos, sua forma não muda. Por isso, os triângulos possuem critérios específicos que permitem identificar semelhanças observando apenas alguns de seus elementos. Estes critérios diferenciados são chamados de casos de semelhança. São eles:
- Caso AA (Ângulo-Ângulo): Se dois ângulos de um triângulo forem congruentes a dois ângulos de outro triângulo, então esses triângulos são semelhantes. Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°, bastam dois ângulos iguais para garantir a semelhança.
- Caso LAL (Lado-Ângulo-Lado): Se dois lados de um triângulo forem proporcionais a dois lados de outro triângulo, e o ângulo entre esses lados for congruente, então os triângulos são semelhantes.
- Caso LLL (Lado-Lado-Lado): Se os três lados de um triângulo forem proporcionais aos três lados de outro triângulo, então esses triângulos são semelhantes.
Aplicações da semelhança de triângulos
A semelhança de triângulos tem diversas aplicações práticas, como:
- Medir a altura de prédios ou árvores usando a projeção da sombra e a proporção entre triângulos semelhantes.
- Determinar distâncias inacessíveis em mapas, por meio de triangulação.
- Resolver problemas de escalas em desenhos técnicos e plantas arquitetônicas.
Vale lembrar que os casos de semelhança entre triângulo existem em razão da rigidez geométrica desse polígono. Para entender o que isso significa, assista ao vídeo “Rigidez geométrica e a semelhança entre triângulos“, da professora Cristiane Souza, disponível no Canal Estúdio Conexão Escola, no YouTube.
Agora, resolva às questão a seguir. Vale lembrar que estas atividades reforçam o descritor D5 (Reconhecer a conservação ou modificação de medidas de lado, do perímetro, da área na ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas) do 9º ano.
QUESTÃO 1
Dado o triângulo a seguir
Responda:
A) Desenhe na malha o triângulo acima reduzindo seus lados à metade.
B) O perímetro do novo triângulo reduzirá na mesma proporção que os lados? Explique a sua resposta.
QUESTÃO 2
Um cliente encomendou a um marceneiro duas prateleiras em formato triangular, sendo a menor representada no desenho a seguir.
A maior prateleira foi feita com lados que medem o triplo dos lados da menor.
A) Calcule a quantidade de madeira utilizada para fabricar cada uma das prateleiras.
B) Comparando a área da menor com a da maior prateleira, o aumento foi na mesma proporção dos lados? Justifique sua resposta.
QUESTÃO 3
Observe os triângulos a seguir.
A razão de semelhança entre os triângulos ABC e DEF é igual a
(A) 13.
(B) 12.
(C) 2.
(D) 3.
QUESTÃO 4
Um canteiro tem a forma de um triângulo e está totalmente cercado por 24m de arame. O canteiro foi ampliado de modo que as medidas dos seus lados foram triplicadas. Para cercar totalmente esse novo canteiro, serão necessários
(A) 8m de arame.
(B) 48m de arame.
(C) 54m de arame.
(D) 72m de arame.
QUESTÃO 5
Os triângulos ABC e DEF são semelhantes e têm suas medidas dadas em cm.
Agora responda:
A) calcule a razão entre os perímetros dos triângulos.
B) calcule a razão entre as áreas dos triângulos.
QUESTÃO 6
Um grupo de estudantes, em uma atividade de Matemática, decidiu medir a altura do prédio da escola utilizando a semelhança entre triângulos. Para isso, escolheram um dos colegas e mediram a altura desse estudante e o comprimento das sombras projetadas pelo prédio e pelo estudante no mesmo momento. As medidas estão na imagem a seguir.
Com base nessas informações, calcule a altura da escola.
| Autoria: | Cristiane Soares de Souza |
| Formação: | Matemática – Licenciatura |
| Componente curricular: | Matemática |
| Habilidades: | (EF09MA12-B) Reconhecer triângulos semelhantes em situações de ampliação, congruência e redução, e as relações que existem entre seus perímetros e suas áreas. |
| Objetos de conhecimento: | Ampliação e redução de polígonos na malha quadriculada, conservação e modificação de medidas na ampliação e redução de polígonos (perímetro e área), semelhança de triângulos, casos de semelhanças de triângulos. |
| Referências: | SILVEIRA, Ênio. Matemática: compreensão e prática. 5ª edição, São Paulo, Moderna, 2018. PEREIRA, Marcos Fabrício Ferreira. Uma Sequência Didática para o ensino de Semelhança de Figuras Planas. XX Ebrapen – Encontro Brasileiro de Pós-graduação em Educação Matemática, 2016. Disponível em http://www.ebrapem2016.ufpr.br/wp-content/uploads/2016/04/gd2_Marcos_Fabricio.pdf, consultado em 17/03/2025. |