Olá, educando (a)! Esta videoaula de Matemática foi veiculada na TV no dia 02/03/2021 (terça-feira). Aqui no Portal Conexão Escola, ela está disponível juntamente com a proposta de atividade.
Nesta atividade, você, estudante do 7º ano, terá a oportunidade de estudar sobre os múltiplos e divisores de dois ou mais números naturais, percebendo a sua aplicabilidade no dia-a-dia por meio de situações contextuais.
Assista a videoaula a seguir, com a temática: Múltiplos e divisores de um número natural
Olá, nesta atividade você terá a oportunidade de compreender os múltiplos e divisores de um número natural, sabendo determinar o menor múltiplo comum de dois ou mais números, além de poder determinar, também, o maior divisor comum de dois ou mais números.
Para iniciar os estudos é importante (re) lembrar o que são números naturais.
Os números naturais são os números mais comuns que utilizamos no dia-a-dia, representados pelas letras IN, os números naturais iniciam-se com o zero e vão até o infinito positivo. Veja:
IN = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16, …}
A partir dos números naturais, você pode organizar outros conjuntos numéricos, que são os múltiplos de um determinado número. Por exemplo: pode-se listar todos os múltiplos de 2, multiplicando os números naturais por 2, observe:
Múltiplos de 2 = {0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,…}, neste conjunto representado pelos múltiplos de 2, percebe-se que estão presentes todos os números naturais pares, além disso, observa-se que os múltiplos de um número natural são infinitos.
Veja outros conjuntos numéricos que representam múltiplos:
Múltiplos de 3 = {0,3,6,9,12,15,18,21, …}
Múltiplos de 5 = {0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,…}
Múltiplos de 6 = {0,6,12,18,24,30,36,42,…}
Múltiplos de 10 = {0,10,20,30,40,50,60,70,…}
Múltiplos de 12 = {12,24,36,48,60,72,…}
Desses exemplos, pode caracterizar que:
– Os múltiplos de um número natural são infinitos;
– O zero é o primeiro múltiplo de qualquer número natural;
– Os múltiplos de um número natural podem ser obtidos pela multiplicação do número em questão por todos os elementos de IN. Ou ainda, partindo do zero, o conjunto de múltiplos de um número pode ser obtido pela soma do número anterior com o número que se deseja ter os múltiplos.
O estudo dos múltiplos de um número natural serve para determinar, quando se tem, dois ou mais números, o menor múltiplo comum deles. Analise o exemplo:
Pedro comprou uma árvore de natal e luzes para enfeitá-la, sendo que as lâmpadas possuem três tipos de luzes piscam com freqüências diferentes. A primeira pisca a cada 4 segundos, a segunda a cada 6 segundos e a terceira a cada 10 segundos. Se, num dado instante, as luzes piscam ao mesmo tempo, após quantos segundos voltarão a piscar juntas?
Para solucionar o problema, primeiramente, determina que se trata de um problema de mínimo múltiplo comum (MMC), pois para determinar em quanto tempo as luzes irão piscar juntas, considerando que cada uma pisca em um tempo diferente, tem-se que fazer o cronograma de tempo que cada uma piscará, ou seja, determinar os seus múltiplos.
Assim, tem-se:
Lâmpada que pisca a cada 4 segundos {0,4,8,12,16,20,24,28,32,40,44,48,52,56,60,64,68,72,…}
Lâmpada que pisca a cada 6 segundos {0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,…}
Lâmpada que pisca a cada 10 segundos {0,10,20,30,40,50,60,70,80,90…}
Determinou-se, então, o tempo em segundos que cada lâmpada irá piscar. Se todas piscam juntas no tempo de 0 segundos, ou seja, quando são ligadas na tomada, daqui a quantos segundos, pode-se dizer que todas piscarão juntas novamente?
Como foi listado o tempo inicial de cada uma delas, fica muito fácil determinar esse tempo, basta olhar para os múltiplos de tempo de cada uma delas e identificar o primeiro número (excluindo o zero) que é comum à todas as lâmpadas. Neste caso este número é 60 segundos.
Observe novamente:
Assim as luzes voltarão a piscar juntas em um tempo de 60 segundos.
Uma outra forma de calcular o Mínimo Múltiplo Comum de dois ou mais números naturais é utilizar o processo de fatoração conjunta, conforme mostra a imagem abaixo, em solução ao exemplo anterior:
Viu só como é fácil calcular o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números?
Agora que você estudou sobre os múltiplos e a estratégia necessária para para calcular o MMC de dois ou mais números, resolva as situações a seguir:
Questão 01. Alguns cometas passam pela terra periodicamente. O cometa A visita a terra de 12 em 12 anos e o B, de 32 em 32 anos. Em 1910, os dois cometas passaram por aqui. Em que ano os dois cometas passarão juntos pelo planeta novamente?
Questão 02. Três navios fazem viagens entre dois portos. O primeiro a cada 4 dias, o segundo a cada 6 dias e o terceiro a cada 9 dias. Se esses navios partirem juntos, depois de quantos dias voltarão a sair juntos, novamente?
Já que você está expert em determinar os múltiplos de um número natural, e, calcular o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais, chegou o momento de continuar os estudos, mas agora compreendendo os divisores de um número natural.
Os divisores de um número natural podem ser representados pelo conjunto de números que são capazes de dividi-lo de modo a não sobrar nenhum resto. Por exemplo: Listar todos os divisores do número 10.
Divisores de 10 = {1,2,5 e 10}, pois ao dividir o 10 por 1,2,5 ou 10 tem-se uma divisão exata, ou seja, o resto destas divisões é sempre zero.
Observe outros exemplos:
Divisores de 15 = {1,3,5 e 15}
Divisores de 20 = {1,2,4,5,10 e 20}
Divisores de 23 = {1 e 23}
Divisores de 50 = {1,2,5,10,25 e 50}
Por meio desses exemplos, pode-se determinar, que:
– Os divisores de um número natural são finitos;
– O número um é divisor de qualquer número natural;
– O menor número de divisores que um número pode ter são 2, pois qualquer que seja o número natural, ele sempre poderá ser dividido por um e por ele mesmo. Quando um número natural apresenta como divisores o um e ele próprio, trata-se, então, de um número primo.
A partir da listagem dos divisores de dois ou mais números é possível determinar o maior divisor comum entre eles. Observe o exemplo:
Sr. Francisco é marceneiro. Ele encomenda ripas de madeira em três tamanhos diferentes que já vem de fábrica desta maneira. Os tamanhos são: 40 centímetros, 60 centímetros e 120 centímetros. Para fazer um determinado serviço ele precisará cortar essas ripas de madeira de modo que nenhuma ripa tenha sobras e que seja do maior tamanho possível. Qual deverá ser o tamanho do corte realizado por Sr. Francisco para atender todas as exigências que se fizeram necessárias?
Primeiramente é importante identificar que ele necessita do maior tamanho possível que dê para cortar todos os três formatos de ripas, de modo a não sobrar nenhuma parte de madeira delas, assim, trata-se de um problema que deve-se calcular o maior divisor comum dos três tamanhos de ripas. Para isso, precisa-se determinar os divisores de cada uma das ripas, identificando quais as medidas em centímetros possíveis para que em cada peça não sobre madeira, evitando o desperdício.
Divisores de 40 centímetros de ripa {1,2,4,5,8,10,20 e 40}
Divisores de 60 centímetros de ripa {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30 e 60}
Divisores de 120 centímetros de ripa {1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60 e 120}
Como se listou todas as possíveis divisões exatas das ripas de madeira em centímetros que fossem capazes de não sobrar resto algum, tem-se que o maior tamanho de ripa que pode ser cortado, considerando os três tamanhos distintos, é de 20 cm. Conforme mostra a imagem, que identifica todos os divisores comuns dos três tamanhos de ripas:
Logo, o maior divisor comum das três ripas é 20 centímetros, o que garante atender todas as exigências feitas por Sr. Francisco.
Uma outra forma (estratégia) de realizar o cálculo do Máximo Divisor Comum (MDC) de dois ou mais números é utilizar o processo de fatoração conjunta dos números, conforme indica a imagem abaixo:
Viu como é fácil determinar o cálculo do máximo divisor comum de dois ou mais números. Assim, você poderá utilizar de diferentes estratégias, escolhendo a que você sentiu maior afinidade para desenvolver as situações problemas abaixo:
Agora é com você!
Questão 03. Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes.
Questão 04. (Mackenzie – SP) Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. A soma do número das aparições diárias dos partidos na TV foi de:
Em síntese, nesta atividade você percebeu a importância do estudo dos números naturais, sobretudo nos conjuntos numéricos onde se encontram os múltiplos e os divisores. Ampliando os estudos dos múltiplos você pôde perceber, que, quando se tem dois ou mais números e se deseja encontrar o menor múltiplo comum entre eles, basta listar os primeiros multiplos de cada um, ou, utilizar do processo de fatoração (decomposição em fatores primos). Já, ampliando o estudo dos divisores de um número natural, você analisou, que, para determinar os divisores comuns de dois ou mais números naturais, basta listar todos os divisores dos números que se deseja, ou, utilizar-se do processo de fatoração conjunta, multiplicando apenas os números que dividiram todos ao mesmo tempo. Além dos estudos procedimentais da matemática, você teve a oportunidade de resolver situações problemas contextuais envolvendo os conceitos de mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum.
Aguardamos você na próxima atividade, até lá! Bons estudos!
Saiba Mais: Para saber mais sobre os procedimentos de fatoração para determinar o mínimo múltiplo comum ou máximo divisor comum, assista ao vídeo:
| Referências – Texto elaborado com fins pedagógicos. | Situações problemas envolvendo MMC : http://gustavosesi272.blogspot.com/2014/05/situacoes-problemas-de-mmc.html |
| Habilidades | Habilidades Estruturantes (EF06MA06-B) Estabelecer e construir estratégias para determinar o Mínimo Múltiplo Comum entre pelo menos dois números naturais. (EF06MA06-D) Estabelecer estratégias para determinar o Máximo Divisor Comum entre pelo menos dois números naturais. (EF07MA01-B) Ler, interpretar, resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos. Habilidades Complementares EF07MA01 AEF07MA02 AEF06MA06-A |