Olá! Esta aula de Matemática é destinada a estudantes da 5ª Série da Eaja.
Nesta aula, você irá resolver situações-problema do nosso cotidiano, que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor de um número natural.
Assista à videoaula do professor Hélio sobre essa temática.
Antes de começar as situações-problema, vamos a algumas definições.
Múltiplo de um número natural (Definição): dizemos que um número natural é múltiplo de outro, caso o primeiro seja resultado da multiplicação do segundo por um número natural qualquer.
Exemplos
Exemplo 01
Os números 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, são todos múltiplos de 5, pois:
0 = 5 x 0 5 = 5 x 1 10 = 5 x 2 15 = 5 x 3 20 = 5 x 4 25 = 5 x 5 30 = 5 x 6
Exemplo 02
Os números 0, 4, 8, 12, 16, 20 e 24, são todos múltiplos de 6, pois:
0 = 4 x 0 4 = 4 x 1 8 = 4 x 2 12 = 4 x 3 16 = 4 x 4 20 = 4 x 5 24 = 4 x 6
Como obter múltiplos de um número natural?
Para obter os múltiplos de um número natural, por exemplo os múltiplos de 8, basta multiplicar por 8 os números da sequência dos números naturais, ou seja, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. De uma maneira mais rápida, basta acrescentar 8 unidades, a partir do zero, sucessivas vezes.
M (6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, …} Lê-se: Múltiplos de 6
M (9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, …} Lê-se: Múltiplos de 9
Situações-problema com resolução
Situação-problema 01
Numa estação de ônibus há dois trajetos, o ônibus que faz trajeto A passa a cada 30 minutos e o do trajeto B a cada 50. Considerando que os trajetos coincidem em determinado momento, em quantos minutos voltarão a se encontrar na estação?
Resolução
Nesse caso basta encontrar o menor múltiplo comum, diferente de zero, entre 30 e 50.
M (30) = {30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, …}
M (50) = {50, 100, 150, 200, …}
Resposta: Depois de saírem da estação, os dois ônibus voltarão a se encontrar depois de 150 minutos.
Situação-problema 02
Paulo e Hélio treinam correndo numa pista, Paulo gasta 14 minutos para dar uma volta e Hélio 18 minutos. Se eles partem ao mesmo tempo da linha de saída, a cada quanto tempo passam juntos num mesmo ponto?
Resolução
Mais uma vez, basta determinar o menor múltiplo comum, diferente de zero, entre 14 e 18.
M (14) = {0, 14, 28, 42, 56, 79, 84, 98, 112, 126, 140, …}
M (18) = {0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, …}
Resposta: Paulo e Hélio irão passar juntos, novamente, após 126 minutos.
Divisores de um número natural (Definição): dizemos que um número natural é divisor ou fator outro caso a divisão do segundo pelo primeiro seja exata. Uma divisão é exata quanto deixa resto zero.
Exemplos
O número 4 é divisor de 12, pois 12:4 = 3 e deixa resto zero
O número 16 não é divisor de 5, pois 16:5=3 e deixa resto 1
O número 28 é divisor de 7, pois 28;7 = 4 e deixa resto zero
Como obter os divisores de um número natural?
Para determinar, de uma maneira mais fácil, os divisores de um número natural, por exemplo 18, basta multiplicar os números naturais menores do que 18 e identificar aqueles cujo resultado (produto) é 18.
Exemplos
Exemplo 01
Divisores de 15
1 x 18 = 18 2 x 9 = 18 3 x 6 = 18 6 x 3 = 18 9 x 2 = 18 18 x 1 = 18
Logo os divisores de 18 são: 1, 2, 3, 6, 9 e 18
Exemplo 02
Divisores de 20
1 x 20 = 20 2 x 10 = 20 4 x 5 = 20 5 x 4 = 20 10 x 2 = 20 20 x 1 = 20
Logo, os divisores de 20 são: 1, 2, 4, 5, 10 e 20
Antes de começar a resolução das situações-problema, assista ao vídeo do canal do Prof. Hélio para compreender mais sobre divisores. Link: https://youtu.be/Ln3o-qgVCPA
Situações-problema com resolução
Situação-problema 01
(PMSC 1201/001-Assistente Administrativo – 2012) – Um escritório comprou os seguintes itens: 40 marcadores de texto, 20 corretivos e 48 blocos de rascunho e dividiu esse material em pacotinhos, cada um deles contendo um só tipo de material, porém todos com o mesmo número de itens e na maior quantidade possível. Sabendo-se que todos os itens foram utilizados, determine o número total de pacotinhos feitos?
Resolução
Nesse caso, iremos determinar os divisores de 40, 20 e 48, e a resposta será o maior desses divisores comuns.
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} Lê-se: divisores de 20
1 x 20 = 20 2 x 10 = 20 4 x 5 = 20 5 x 4 = 20 10 x 2 = 20 20 x 1 = 20
D (40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}
1 x 40 = 40 2 x 20 = 40 4 x 10 = 40 5 x 8 = 40 8 x 5 = 40 10 x 4 = 40 20 x 2 = 40 40 x 1 = 40
D (48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e 48}
1 x 48 = 48 2 x 24 = 48 3 x 16 = 48 4 x 12 = 48 6 x 8 = 48 8 x 6 = 48 12 x 4 = 48 16 x 3 = 48 24 x 2 = 48 48 x 1 = 48
Resposta: O número total de pacotinhos será 4. Para saber quantos marcadores, corretores e blocos em cada pacotinho, basta dividir a quantidades de cada item, por 4.
Situação-problema 02
Um carpinteiro tem dois pedaços de madeira de 90 e 120 centímetros cada um. Ele quer dividi-los em partes iguais com o maior tamanho possível sem que sobre nada. De quantos centímetros deve ser cada uma das partes?
Resolução
Basta determinar o maior divisor comum entre 90 e 120.
Existe um método para determinar o máximo divisor comum que irei apresentar em outra atividade. No momento vamos utilizar a multiplicação da sequência dos números naturais. Após fazer essas multiplicações, encontramos:
D (90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}
D (120) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}
Resposta: Ele deve cortar a madeira de 30 em 30 centímetros.
Problemas propostos
- Escreva os 10 primeiros múltiplos de 3, 4, 8 e 12.
- Escreva todos os divisores naturais de: 8, 11, 18 e 36.
- Qual é o maior número de 3 algarismos que é múltiplo de 28?
- Entre os elementos do conjunto {2, 3, 5, 8, 9, 10}, identifique os que são divisores de: 14, 28, 25, 45 e 54.
- Quais são os divisores de 15 que também são divisores de 25?
- Qual é o menor múltiplo de 13 menor do que 100?
Assista aos vídeos no canal do Prof. Hélio para aprender um pouco mais. Link: Professor Helio Roberto da Rocha – YouTube
| Objetivos de Aprendizagem e Desenvolvimento: | (EAJAMA0512) Resolver e elaborar situações-problema que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor de um número natural. |
| Referências: | GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy – A conquista da matemática: 6o ano: ensino fundamental: anos finais / José Ruy Giovanni Júnior, Benedicto Castrucci. — 4. ed. — São Paulo: FTD, 2018.SOUZA, Joamir Roberto de: Matemática realidade & tecnologia: 6º ano: ensino fundamental: anos finais / Joamir Roberto de Souza. – 1. ed. – São Paulo: FTD, 2018. |
Professor, essa aula segue a Matriz Estruturante para a Eaja 2021. Foi elaborada no ano de 2020, com a suspensão das aulas presenciais devido a pandemia da Covid-19 e segue as orientações de flexibilização curricular para o biênio 2020/2021 (Ofício Circular 149/2020 Dirped).