Olá! Esta aula de Matemática é destinada a estudantes da 7ª Série da Eaja.
Nesta atividade, você irá interpretar e resolver situações-problema que envolvem o cálculo de probabilidade utilizando o princípio multiplicativo.
Assista à videoaula do professor Hélio sobre essa temática.
Princípio Multiplicativo (PF) ou Princípio Fundamental da Contagem (PFC) (Definição): é uma ferramenta utilizada para se calcular o número de possibilidades para um evento. Essas possibilidades são determinadas pela multiplicação das opções dadas.
Exemplo 1
Uma sorveteria dispõe de 16 sabores de sorvete que podem ser combinados com 3 caldas diferentes (morango, chocolate e caramelo). De quantas maneiras é possível combinar uma bola de sorvete e uma calda?
Resolução
O número de opções de sabores do sorvete são 16 e de caldas 3. Pelo PFC a quantidade de maneiras de se combinar uma bola de sorvete e uma cada, é dada pelo produto entre 16 e 3, portanto teremos 16×3 = 38 maneiras de se combinar.
Portanto, o número de maneiras possíveis de se combinar uma bola e uma calda é igual a 38.
Exemplo 2
Quantas são as placas de automóveis que podem ser formadas por três letras e quatro algarismos?
Resolução
O número de opções para as letras é igual a 26 (número de letras do nosso alfabeto) e o número de opções para algarismos é igual a 10 (0 a 9) para cada.
Pelo PFC o número de placas que podem ser formadas será dado pelo produto 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175.760.000 placas.
Logo, o número de placas que podem ser formadas por 3 letras e 4 algarismos é igual a 175.760.000 placas.
Problemas Propostos
- Uma senha bancária é formada por 4 dígitos seguidos de 3 símbolos (#, & e *). De quantas maneiras Ana pode escolher uma senha, se ela não pretende usar nem o algarismo 0 nem o símbolo #?
- (OBMEP) Os ciclistas têm aversão ao número zero (porque é oval) e ao número oito (porque assim ficam as rodas após os acidentes). Quantos sócios podem se inscrever num clube de ciclistas se cada um deve possuir uma identificação de três dígitos, sem usar o dígito zero nem o dígito oito?
- . (OBMEP) Um estacionamento tem 10 vagas, uma ao lado da outra, inicialmente todas livres. Um carro preto e um carro rosa chegam a esse estacionamento. De quantas maneiras diferentes esses carros podem ocupar duas vagas de forma que haja pelo menos uma vaga livre entre eles?
Espaço aleatório (Definição): um experimento é considerado aleatório se, mesmo ao repeti-lo um número considerável de vezes, da mesma maneira, o resultado é sempre imprevisível. Como exemplos podemos destacar o lançamento de um dado e de uma moeda.
Espaço amostral (S) (Definição): é o conjunto formado por todas as possibilidades de resultados de um determinado experimento.
Evento (Definição): é um subconjunto de um espaço amostral. Se esse conjunto é vazio, temos um evento impossível e se o número de elementos do evento coincide com o número de elementos do espaço amostral, o evento é chamado evento certo.
Exemplo
Uma urna tem 20 bolinhas, numeradas de 1 a 20. Uma bolinha é escolhida ao acaso e observa-se seu número.
Nesse caso, o espaço amostral é dado por: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Como vimos, todo evento é um subconjunto do espaço amostral.
O evento “Obter um número maior que 11” dado por E = {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.
O evento “Obter um número múltiplo de 4” corresponde ao subconjunto E = {4, 8, 12, 16, 20}.
Probabilidade (Definição): é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1, os resultados mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. A probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual.
Cálculo da Probabilidade
A probabilidade (P) de um evento (E) acontecer, a partir de um experimento aleatório, é dada pela razão entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral (S).
Onde n(S) é o número de elementos do espaço amostral S e n(E) é o número de elementos do evento E
Exemplo 1
No lançamento de um dado honesto, qual é a probabilidade de:
a) sair a face com o número 4?
Para calcular a probabilidade de esse evento ocorrer, determinamos o número de elementos do espaço amostral e o número de elementos do evento. Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e E = {4}
Assim, a probabilidade de sair a face com o número 4 é igual a 1/6 ou 17%, aproximadamente.
b) não sair a face com o número 4? Para esse evento, temos o mesmo espaço amostral anterior, porém o número de elementos do evento muda.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = {1, 2, 3, 5, 6}
Assim, a probabilidade de não sair a face com o número 4 é igual a 5/6 ou 83%, aproximadamente.
Observe que a soma das probabilidades calculadas nos itens (a) e (b) é igual a 1 ou 100%.
Exemplo 2
Uma urna contém 2 bolas amarelas, 4 bolas azuis e 3 bolas vermelhas. Ao retirarmos uma bola ao acaso, qual é a probabilidade;
a) de ela ser azul?
Espaço amostral S={ba1, ba2, baz1, baz2, baz3, baz4, bv1, bv2, bv3}, n(S)=9
Onde ba = bola vermelha, baz = bola azul e bv = bola vermelha.
Evento E = {baz1, baz2, baz3, baz4}, n(E) = 4
Logo a probabilidade de retirar uma bola azul é de, aproximadamente, 0,44 ou 44% .
b) E vermelha?
n(E) = 3 e n(S)=9
Logo a probabilidade de retirar uma bola vermelha é de, aproximadamente, 0,33 ou 33%
Problemas Propostos
- Ao jogar um dado, qual a probabilidade de obtermos um número ímpar voltado para cima?
- Um saco contém 8 bolas idênticas, mas com cores diferentes: três bolas azuis, quatro vermelhas e uma amarela. Retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade da bola retirada ser azul?
- Sorteando-se um número de 1 a 20, qual a probabilidade de que esse número seja múltiplo de 2?
Assista ao vídeo no canal do Prof. Hélio para aprender um pouco mais. Link: https://youtu.be/8HRNfAm1N7U
| Objetivos de Aprendizagem e Desenvolvimento: | (EAJAMA0727) Interpretar e resolver situações-problema que envolvam o cálculo da probabilidade de eventos, a partir da construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1. |
| Referências | GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy – A conquista da matemática: 8o ano: ensino fundamental: anos finais / José Ruy Giovanni Júnior, Benedicto Castrucci. — 4. ed. — São Paulo: FTD, 2018.SOUZA, Joamir Roberto de: Matemática realidade & tecnologia: 8º ano: ensino fundamental: anos finais / Joamir Roberto de Souza. – 1. ed. – São Paulo: FTD, 2018. |
Professor, essa aula segue a Matriz Estruturante para a Eaja 2021. Foi elaborada no ano de 2020, com a suspensão das aulas presenciais devido a pandemia da Covid-19 e segue as orientações de flexibilização curricular para o biênio 2020/2021 (Ofício Circular 149/2020 Dirped).