Matemática – Sequências numéricas aditivas e multiplicativas

As sequências recursivas são utilizadas para modelar e descrever padrões e fenômenos naturais. Elas são sequências em que cada termo subsequente é definido em função dos termos anteriores, seguindo uma determinada regra ou padrão.

Uma das sequências recursivas mais simples e importantes é a construção do conjunto dos números naturais. Começamos com o número 0 e, em seguida, adicionamos 1 a cada termo subsequente para obter os números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, e assim por diante. Essa sequência é fundamental para a contagem e é a base para muitos outros conceitos matemáticos.

Além disso, as sequências numéricas aditivas e multiplicativas são frequentemente utilizadas para modelar padrões de crescimento e progressão. Na sequência aditiva, cada termo subsequente é obtido pela adição de um número fixo ao termo anterior, enquanto na sequência multiplicativa, cada termo subsequente é obtido pela multiplicação por um número fixo. Por exemplo, a sequência aditiva 2, 4, 6, 8, 10,… é obtida adicionando-se 2 a cada termo subsequente, enquanto a sequência multiplicativa 2, 4, 8, 16,… é obtida multiplicando-se cada termo por 2.

Outro exemplo importante de sequência recursiva é a construção dos números poligonais. Os números poligonais representam o número de pontos que podem ser dispostos para formar polígonos regulares de diferentes formas. Por exemplo, o segundo número triangular é 3, pois podemos formar um triângulo com 3 pontos.

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Por fim, a sequência de Fibonacci é uma das sequências recursivas mais famosas e mais estudadas na matemática. Nesta sequência, cada termo subsequente é a soma dos dois termos anteriores. Começando com 0 e 1, os primeiros termos da sequência de Fibonacci são: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, e assim por diante.

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Esta sequência aparece em muitos contextos naturais, como na disposição de folhas em uma planta, no crescimento populacional de certos organismos e em padrões encontrados em conchas e flores.

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Para exemplificar a aplicação dessas sequências, vamos resolver alguns problemas:

Sequência Aditiva: Se a sequência aditiva 3, 7, 11, 15,… é continuada, qual é o próximo termo?

Solução: Cada termo subsequente é obtido adicionando-se 4 ao termo anterior. Portanto, o próximo termo seria 19.

Sequência Multiplicativa: Na sequência multiplicativa 5, 15, 45, 135,…, qual é o próximo termo?

Solução: Cada termo subsequente é obtido multiplicando-se por 3 o termo anterior. Portanto, o próximo termo seria 405.

Números Poligonais: Qual é o quarto número triangular?

Solução: O quarto número triangular é obtido somando-se os primeiros 4 números naturais: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Sequência de Fibonacci: Qual é o décimo termo da sequência de Fibonacci?

Solução: A sequência de Fibonacci começa com 0 e 1, e cada termo subsequente é a soma dos dois termos anteriores. O décimo termo seria 34.