Matemática – Soma e produto das raízes da equação do 2° grau

Esta proposta de atividade de Matemática é destinada aos estudantes do 6º Período (8ª série) da Educação de Jovens e Adultos – EJA.

Qual a definição de equação do 2º grau?

São todas as equações algébricas que envolvem uma variável elevada ao quadrado (2º grau), como por exemplo: 

Onde:

• a, b e c são números reais, com a diferente de zero, chamados de coeficientes;
• x é a variável que queremos encontrar.

O objetivo é encontrar os valores de x que satisfazem a equação, ou seja, encontrar as raízes da equação.

Quais são os métodos para resolver uma equação do 2º grau?

Alguns deles:

• Fórmula de Bhaskara.
• Soma e produto das raízes.
• Completando quadrado.
• Fatoração.

Neste texto iremos abordar a soma e o produto das raízes.

Soma e Produto das raízes da equação do 2º grau.

Considerando uma equação do 2º grau na forma ax² + bx + c = 0, cujas raízes são representadas por x₁ e x₂, teremos:

• a soma das raízes (S):

• o produto das raízes (P):

Dividindo a equação ax² + bx + c = 0 por a, obtemos:

Substituindo os valores S e P, podemos reescrever a equação ax² + bx + c = 0 utilizando a soma (S) e o produto (P) das raízes como:

Veja o vídeo abaixo com essa explicação.

Mas como utilizar esse método para resolver uma equação?

Segue 3 exemplos.

Exemplo 1

Determinar a solução da equação

Vamos comparar essa equação com aquela que aparece a soma e o produto.

Podemos ver, facilmente, que a soma das raízes é igual a 5 e o produto é igual a 6.

Os dois números cuja soma é 5 e produto 6 são as raízes dessa equação.

Esses números são o 2 e o 3 pois 2+3=5 e 2.3=6, logo a solução da equação será S={2,3}.

Exemplo 2:

Determinar o conjunto solução da equação

Neste exemplo vamos determinar a soma e o produto através das suas fórmulas.

Os coeficientes da equação são: a = 1, b = -3 e c = -10.

Substituindo esses valores nas fórmulas, obtemos os valores de S e P.

S = -b/a = -(-3)/1 = 3

P = c/a = -10/1 = -10

Temos que determinar 2 números cuja soma seja igual a 3 e cujo produto seja igual a -10. 

Facilmente verificamos que esses números são o – 2 e 5 pois, -2+5=3 e (-2).5=-10. 

Portanto, a solução da equação é igual a S={-2,5}.

Exemplo 3

Faça o mesmo para a equação

Observe que o valor do coeficiente a é 2 (diferente de 1) então a soma e o produto podem ser números fracionários, neste caso sim. Veja:

Soma das raízes (S) = -b/a = -7/2 

Produto das raízes (P) = c/a = 3/2

Agora percebe que fica bem mais complicado determinar as raízes?

Melhor partir para outro método. 

No saiba mais temos vídeo explicando.

Ficamos por aqui, até o próximo.

Atividade

QUESTÃO 01

A equação do 2º grau que tem o produto das raízes igual a -8 e a soma igual a 4 é dada por:

QUESTÃO 02

Determine a soma e o produto das raízes da equação do 2° grau abaixo.

QUESTÃO 03

Um agricultor está planejando construir um campo de futebol retangular em um terreno disponível. Se a largura do campo é metade do comprimento e a área total do campo é de 450 metros quadrados, podemos afirmar que o campo possui

(A) 30 m de comprimento e 15m de largura. 

(B) 25m de comprimento e 20m de largura.

(C) 20m de comprimento e 10m de largura. 

(D) 15m de comprimento e 7,5m de largura.

QUESTÃO 04

Considere a equação do segundo grau abaixo. Calcule as raízes dessa equação utilizando a soma e o produto das raízes.

SAIBA MAIS

Autoria	Professor Hélio Roberto da Rocha, Mestre em Matemática
Componente Curricular:	Matemática
Objetivos de Aprendizagem e Desenvolvimento:	(EJAMA0611) Investigar, por meio de possíveis raízes inteiras com soma S e produto P, as soluções de equações do 2° grau que podem ser comparadas à forma x² – Sx + P = 0.
Referências	SOUZA, Joamir Roberto de: Matemática realidade & tecnologia: 9º ano: ensino fundamental: anos finais / Joamir Roberto de Souza. – 1. ed. – São Paulo: FTD, 2018.