Olá! Esta aula de Matemática é destinada a educandos da 6ª Série da Eaja.
Nesta atividade você irá aprender um pouco mais sobre divisores e máximo divisor comum. Ao final dela você perceberá que esse conteúdo pode ser usado na resolução de problemas do nosso cotidiano.
A seguir, assista a videoaula do professor Hélio com a temática divisores e máximo divisor comum.
Olá, tudo bem com você? Espero que esteja bem.
Iniciaremos com um breve estudo da parte teórica e, a partir disso, serão propostos alguns problemas pra você.
Divisor de um Número Natural
Dizemos que um número natural diferente de zero é divisor ou fator de outro, se a divisão do segundo pelo primeiro é exata (deixa resto zero). Veja os exemplos.
a) 4 é divisor de 12, pois 12 : 4 = 3 (Divisão exata, deixa resto zero)
b) 2 é divisor de 18, pois 18 : 2 = 9 (Divisão exata, deixa resto zero)
Como determinar os divisores de um número natural?
Para responder a essa questão, precisamos definir números primos e compostos.
Número Primos: são todos os números naturais maiores do que 1 e que possui apenas dois divisores, o 1 e o próprio número.
Número composto: são todos os números naturais maiores do que 1 e que possui mais de dois divisores.
Vamos a alguns exemplos.
Lembre-se da importância de estar com a tabuada de multiplicação em dias.
a) Verificar se 72 é um número primo ou composto?
b) Verificar se 61 é um número primo ou composto?
Temos que determinar os divisores de 64 e 73 para ver a quantidade de divisores e daí responder se é primo ou composto.
Podemos aplicar um algoritmo (uma receita) para determinar os divisores de um número.
Algoritmo:
- Inicialmente, temos que decompor o número em fatores primos, se faz necessário saber alguns número primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19,…
- Traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número;
- Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo;
- Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.
É hora de praticar!
Imagem: Prof. Hélio Roberto da Rocha
Observando a figura podemos afirmar que os divisores de:
- D(72) = {1,2,3,4,6,8,9.12.24.36.72}
- D(61) = {1,61}
Como 72 possui mais de 2 divisores ele é um número composto e o 61 possui somente 2 divisores, o 1 e 61, logo ele é um número primo.
Acesse os links do canal do Prof. Hélio para ver sobre essa explicação: https://youtu.be/15cX1uxeg8w e https://youtu.be/9IS_9zPgKXA
Existem outras maneiras de se determinar os divisores de um número. Vale a pena você procurar conhecer essas outras formas, como nos links sugestionados acima.
Vamos para mais um assunto importante desta atividade, o Máximo Divisor Comum (MDC).
Máximo Divisor Comum (MDC)
O máximo divisor comum entre dois números naturais é o maior número que é divisor comum deles.
Exemplo:
Determinar o MDC entre 36 e 45.
Uma maneira de determinar o mdc é obter os divisores de 36 e 45.
Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36
Divisores de 45: 1, 3, 5, 9, 15 e 45
Logo o máximo divisor comum entre o 36 e o 45 é o 9.
Situação-problema
Supondo que você faça decoração de festas infantis e para decorar uma certa festa, você encheu 56 balões azuis, 68 balões vermelhos e 52 balões amarelos. Você tem que distribuir igualmente todos os balões de cada cor para fazer enfeites, sem sobrar balão. Quantos enfeites, com a maior quantidade possível de balões de cada cor, você poderá fazer? Nesse caso, quantos balões de cada cor haverá em cada enfeite?
Você pode optar em ir colocando 1 balão de cada cor em um número, aleatório, de enfeites, até conseguir a solução do problema. Um método bastante trabalhoso. Vamos optar em determinar os divisores de 56, 68 e 52 e a resposta será o maior divisor comum entre eles.
Uma regra bastante utilizada para determinar o MDC é a seguinte:
- Decompomos os números em fatores primos;
- O produto dos fatores primos comuns será o MDC.
Veja a decomposição:
Imagem: Prof. Hélio Roberto da Rocha
Os fatores comuns são 2 e 2 e o produto entre eles é o MDC.
Portanto o MDC(56,68,52) = 2 x 2 = 4 que será o resultado do número de enfeites e, dividindo 56 balões azuis por 4 obtemos 14 balões azuis em cada enfeite, dividindo 68 por 4 obtemos 17 balões vermelhos em cada enfeite e dividindo 52 por 4 obtemos 13 balões em cada enfeite.
Atividades
1) Calcule o MDC dos números abaixo:
a) 12 e 18
b) 21 e 32
c) 75 e 120
2) Paula comprou rolos de corda, um rolo com 228 metros e outro com 190 metros. Para revender, Paula vai cortar os dois rolos em pedaços de mesmo comprimento, de modo que os pedaços tenham o maior comprimento possível e sem sobras. Em quantos pedaços de corda cada rolo será cortado?
Um abraço e até a próxima!
| Objetivos de Aprendizagem e Desenvolvimento | (EAJAMA0601) Resolver e elaborar situações-problema com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, incluindo os conceitos de máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum. |
| Referências | Sousa, Joamir Roberto de – Matemática realidade & tecnologia: 6º ano. |
Professor, essa aula segue a Matriz Estruturante para a Eaja 2021. Foi elaborada no ano de 2020, com a suspensão das aulas presenciais devido a pandemia da Covid-19 e segue as orientações de flexibilização curricular para o biênio 2020/2021 (Ofício Circular 149/2020 Dirped).