{"id":190425,"date":"2024-11-14T15:07:58","date_gmt":"2024-11-14T18:07:58","guid":{"rendered":"https:\/\/sme.goiania.go.gov.br\/conexaoescola\/?post_type=ensino_fundamental&p=190425"},"modified":"2024-11-21T13:41:09","modified_gmt":"2024-11-21T16:41:09","slug":"matematica-as-relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo","status":"publish","type":"ensino_fundamental","link":"https:\/\/sme.goiania.go.gov.br\/conexaoescola\/ensino_fundamental\/matematica-as-relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo\/","title":{"rendered":"Matem\u00e1tica – As rela\u00e7\u00f5es m\u00e9tricas no tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo"},"content":{"rendered":"\n

Esta proposta de atividade de Matem\u00e1tica<\/strong> com base no DC\/GO \u2013 Ampliado e \u00e9 destinada aos estudantes do 9\u00ba Ano do Ensino Fundamental<\/strong> – Anos Finais<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

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BAIXE A ATIVIDADE<\/a><\/div>\n\n\n\n
BAIXE OS SLIDES<\/a><\/div>\n\n\n\n
BAIXE O TEXTO<\/a><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
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Introdu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Este texto explora as rela\u00e7\u00f5es no tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, uma figura essencial na matem\u00e1tica. A partir do Teorema de Pit\u00e1goras e das propriedades de seus lados e \u00e2ngulos, veremos como essas rela\u00e7\u00f5es s\u00e3o fundamentais para resolver problemas e compreender melhor a geometria.<\/p>\n\n\n\n

Imagem do autor produzida no Geogebra<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

O tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo (s\u00f3 para lembrar!)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo<\/strong> \u00e9 um tri\u00e2ngulo que possui um \u00e2ngulo de 90 graus, ou seja, um \u00e2ngulo reto. Ele \u00e9 composto por tr\u00eas lados: o maior deles \u00e9 chamado de hipotenusa<\/strong>, que est\u00e1 oposto ao \u00e2ngulo reto, e os outros dois lados menores, chamados de catetos<\/strong>.<\/p>\n\n\n

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Imagem do autor produzida no Geogebra<\/p>\n\n\n\n

A altura e as proje\u00e7\u00f5es dos catetos<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Ao tra\u00e7ar a altura (h<\/strong>) do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo a partir do v\u00e9rtice do \u00e2ngulo reto at\u00e9 a hipotenusa, o tri\u00e2ngulo se divide em dois tri\u00e2ngulos menores, ambos semelhantes ao tri\u00e2ngulo original. Essa altura cria duas proje\u00e7\u00f5es (m<\/strong> e n<\/strong>) dos catetos sobre a hipotenusa, chamadas de proje\u00e7\u00f5es dos catetos. <\/p>\n\n\n

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Imagem do autor produzida no Geogebra<\/p>\n\n\n\n

As rela\u00e7\u00f5es m\u00e9tricas<\/strong><\/p>\n\n\n\n

As rela\u00e7\u00f5es m\u00e9tricas no tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo mostram como seus lados e \u00e2ngulos est\u00e3o conectados. Nesta parte, vamos explorar o Teorema de Pit\u00e1goras, as proje\u00e7\u00f5es dos catetos na hipotenusa e a altura que parte do \u00e2ngulo reto at\u00e9 a hipotenusa. <\/p>\n\n\n\n

1\u00aa Rela\u00e7\u00e3o: O Teorema de Pit\u00e1goras<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, o quadrado da medida da hipotenusa (<\/em>a<\/em><\/strong>) \u00e9 igual \u00e0 soma dos quadrados das medidas dos catetos (<\/em>b<\/em><\/strong> e <\/em>c<\/em><\/strong>).<\/em><\/p>\n\n\n

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Imagem do autor produzida no Geogebra<\/p>\n\n\n\n

Existem diversas maneiras de se demonstrar este Teorema, neste texto n\u00e3o iremos abordar essa demonstra\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

2\u00aa Rela\u00e7\u00e3o: Altura relativa \u00e0 hipotenusa e as proje\u00e7\u00f5es dos catetos.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Como foi dito anteriormente, ao tra\u00e7ar a altura relativa a hipotenusa, o tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo se divide em dois tri\u00e2ngulos menores, ambos semelhantes ao tri\u00e2ngulo original. Aplicando a semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos, podemos afirmar que:<\/p>\n\n\n\n

Em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, o quadrado da altura (<\/em>h<\/em><\/strong>) relativa \u00e0 hipotenusa \u00e9 igual ao produto das proje\u00e7\u00f5es (<\/em>m<\/em><\/strong> e <\/em>n<\/em><\/strong>) dos catetos sobre a hipotenusa.<\/em><\/p>\n\n\n

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Imagem do autor produzida no Geogebra<\/p>\n\n\n\n

3\u00aa rela\u00e7\u00e3o: As proje\u00e7\u00f5es dos catetos e a hipotenusa.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Ainda por semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos, podemos afirmar que:<\/p>\n\n\n\n

O quadrado de cada cateto (<\/em>b<\/em><\/strong> e <\/em>c<\/em><\/strong>) de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo \u00e9 igual ao produto da hipotenusa (<\/em>a<\/em><\/strong>) pela proje\u00e7\u00e3o do cateto (<\/em>m<\/em><\/strong> ou <\/em>n<\/em><\/strong>) sobre a hipotenusa.<\/em><\/p>\n\n\n

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Imagem do autor produzida no Geogebra<\/p>\n\n\n\n

4\u00aa rela\u00e7\u00e3o: O produto dos catetos e o produto entre a hipotenusa e a altura.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Ainda por semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos, podemos afirmar que:<\/p>\n\n\n\n

O produto dos catetos (<\/em>b<\/em><\/strong> e <\/em>c<\/em><\/strong>) de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo \u00e9 igual ao produto da hipotenusa (<\/em>a<\/em><\/strong>) pela altura (<\/em>h<\/em><\/strong>) relativa \u00e0 hipotenusa.<\/em><\/p>\n\n\n

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Imagem do autor produzida no Geogebra<\/p>\n\n\n\n

Um problema para finalizar<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, a hipotenusa mede 17 cm e um dos catetos tem 8 cm. Com essas informa\u00e7\u00f5es, determine:<\/p>\n\n\n\n

A) O valor do outro cateto.<\/p>\n\n\n\n

B) As proje\u00e7\u00f5es m e n dos catetos sobre a hipotenusa.<\/p>\n\n\n\n

C) A altura relativa \u00e0 hipotenusa.<\/p>\n\n\n\n

Resolu\u00e7\u00e3o:<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Colocando estes dados em uma figura e aplicando as rela\u00e7\u00f5es apresentadas acima, temos:<\/p>\n\n\n

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Imagem do autor produzida no Geogebra<\/p>\n\n\n\n

A) Para determinar a medida do outro cateto, basta aplicar o Teorema de Pit\u00e1goras:<\/p>\n\n\n\n

\"\"\/<\/figure>\n\n\n\n

B) Para determinar a medida das proje\u00e7\u00f5es, utilizaremos a 3\u00aa rela\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

\"\"\/<\/figure>\n\n\n\n
\"\"\/<\/figure>\n\n\n\n

C) Para determinar a medida da altura, utilizaremos a 2\u00aa rela\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n

\"\"\/<\/figure>\n\n\n\n

Ficamos por aqui, at\u00e9 o pr\u00f3ximo.<\/p>\n\n\n\n

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QUEST\u00c3O 1<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Um bombeiro precisa resgatar um gato preso em uma \u00e1rvore. Ele posiciona uma escada a 4 metros de dist\u00e2ncia da base da \u00e1rvore, e a escada deve alcan\u00e7ar um ponto que est\u00e1 a 5 metros de altura. Qual deve ser o comprimento m\u00ednimo da escada para que o bombeiro consiga alcan\u00e7ar o gato?<\/p>\n\n\n\n

Ajuda:<\/strong> Fa\u00e7a um desenho e projete nele um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo para aplicar o teorema de Pit\u00e1goras.<\/p>\n\n\n\n

QUEST\u00c3O 2<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Em uma \u00e1rea de constru\u00e7\u00e3o, um engenheiro quer calcular a altura de uma parede inclinada em rela\u00e7\u00e3o ao solo para determinar o ponto exato onde instalar um suporte. Ele sabe que a base da parede mede 10 metros (hipotenusa) e que uma de suas partes, projetada no solo por um dos suportes de um andaime, mede 4 metros. Qual \u00e9 a altura perpendicular da parede em rela\u00e7\u00e3o ao solo?<\/p>\n\n\n\n

Ajuda:<\/strong> Fa\u00e7a um desenho e projete nele um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo para aplicar a rela\u00e7\u00e3o entre a altura e as proje\u00e7\u00f5es.<\/p>\n\n\n\n

QUEST\u00c3O 3<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, se um cateto mede 6 cm e sua proje\u00e7\u00e3o na hipotenusa mede 3 cm, podemos afirmar que o quadrado do cateto \u00e9 igual<\/p>\n\n\n\n

(A) ao triplo da hipotenusa.<\/p>\n\n\n\n

(B) ao dobro da altura.<\/p>\n\n\n\n

(C) ao produto da hipotenusa pela proje\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n

(D) \u00e0 soma da altura e da hipotenusa.<\/p>\n\n\n\n

QUEST\u00c3O 4<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, o produto da hipotenusa pela altura em rela\u00e7\u00e3o a ela \u00e9 igual<\/p>\n\n\n\n

(A) \u00e0 soma dos catetos.<\/p>\n\n\n\n

(B) ao quadrado de um dos catetos.<\/p>\n\n\n\n

(C) ao produto dos catetos.<\/p>\n\n\n\n

(D) \u00e0 soma dos \u00e2ngulos internos.<\/p>\n\n\n\n

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Autoria:<\/strong><\/td>Professor H\u00e9lio Roberto da Rocha, Mestre em Matem\u00e1tica<\/td><\/tr>
Componente Curricular:<\/strong><\/td>Matem\u00e1tica<\/td><\/tr>
Habilidades:<\/strong><\/td>(EF09MA13) Demonstrar rela\u00e7\u00f5es m\u00e9tricas do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, entre elas o Teorema de Pit\u00e1goras, utilizando, inclusive, a semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos.<\/td><\/tr>
Refer\u00eancias<\/strong><\/td>GOI\u00c2NIA. Secretaria Municipal de Educa\u00e7\u00e3o. Aprender Sempre. 6\u00b0 ao 9\u00ba ano – Ensino Fundamental; Matem\u00e1tica; Goi\u00e2nia, 2024. 
GOI\u00c1S. Documento Curricular para Goi\u00e1s \u2013 Ampliado. Volume II. Ensino Fundamental Anos Finais. CONSED; UNDIME, 2018. 433 p. Dispon\u00edvel em <https:\/\/sme.goiania.go.gov.br\/site\/index.php\/institucional\/documentos-oficiais-2\/category\/27-documentos-gerais&gt>. Acesso em 23\/03\/2024.<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

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